次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x-3}}{\sin^{-1}(x-9)}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x-3}}{\sin^{-1}(x-9)}$

2. 解き方の手順

$x=9+h$ とおくと、$x \to 9$ のとき $h \to 0$ となります。したがって、極限は以下のように書き換えられます。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{(9+h)-3}}{\sin^{-1}((9+h)-9)} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{6+h}}{\sin^{-1}(h)}$

さらに、$h \to 0$ のとき $\sin^{-1}(h) \approx h$ と近似できることを利用します。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{6+h}}{\sin^{-1}(h)} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{6+h}}{h}$

$h \to 0$ のとき $\sqrt{6+h} \to \sqrt{6}$ なので、極限は $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{6}}{h}$ となります。

しかし、この極限は存在しません。なぜなら、$h$ が正から0に近づくとき $\frac{\sqrt{6}}{h}$ は正の無限大に発散し、$h$ が負から0に近づくとき $\frac{\sqrt{6}}{h}$ は負の無限大に発散するからです。

ただし、問題文を再確認すると、$\sin^{-1}(x-9)$ の定義域を考慮する必要があります。$\sin^{-1}$ の引数は $-1 \leq x-9 \leq 1$ である必要があるので、$8 \leq x \leq 10$ となります。

したがって、$x \to 9$ は、$x \to 9^+$ と解釈するべきです。つまり、$x$ は9より大きい方向から9に近づきます。

このとき、$h$ は正の方向から0に近づくので、$h \to 0^+$ となります。

$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{6+h}}{h} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$