次の2つの関数について、増減表を作成し、グラフを描画します。ただし、各関数の2階微分も調べます。 (1) $f(x) = e^{-x} - x^2$ (2) $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、増減表を作成し、グラフを描画します。ただし、各関数の2階微分も調べます。

(1) $f(x) = e^{-x} - x^2$

(2) $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$

2. 解き方の手順

**(1) 関数 $f(x) = e^{-x} - x^2$ について**

* **1階微分を計算する：**

$f'(x) = -e^{-x} - 2x$

* **2階微分を計算する：**

$f''(x) = e^{-x} - 2$

* **臨界点を求める：**

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$-e^{-x} - 2x = 0$

これは解析的に解けないので、近似解を求めます（またはグラフを描画して視覚的に確認します）。

* **変曲点を求める：**

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-x} - 2 = 0$

$e^{-x} = 2$

$-x = \ln 2$

$x = -\ln 2 \approx -0.693$

* **増減表を作成する：**

$f'(x)$と$f''(x)$の符号を調べ、増減表を作成する。臨界点と変曲点を使って区間を区切る。

* **グラフを描画する：**

増減表に基づいてグラフを描画する。$x \to \infty$ で $f(x) \to -\infty$、$x \to -\infty$ で $f(x) \to \infty$ であることに注意する。

**(2) 関数 $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ について**

* **1階微分を計算する：**

$g'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - e^x(e^x)}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

* **2階微分を計算する：**

$g''(x) = \frac{e^x(e^x + 1)^2 - e^x \cdot 2(e^x + 1)e^x}{(e^x + 1)^4} = \frac{e^x(e^x + 1) - 2e^{2x}}{(e^x + 1)^3} = \frac{e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^3} = \frac{e^x(1 - e^x)}{(e^x + 1)^3}$

* **臨界点を求める：**

$g'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$\frac{e^x}{(e^x + 1)^2} = 0$

$e^x = 0$ となる $x$ は存在しないので、臨界点はありません。

* **変曲点を求める：**

$g''(x) = 0$ となる $x$ を求める。$\frac{e^x(1 - e^x)}{(e^x + 1)^3} = 0$

$1 - e^x = 0$

$e^x = 1$

$x = 0$

* **増減表を作成する：**

$g'(x)$と$g''(x)$の符号を調べ、増減表を作成する。変曲点を使って区間を区切る。

* **グラフを描画する：**

増減表に基づいてグラフを描画する。

$\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0$

$\lim_{x \to \infty} g(x) = 1$

つまり、$y=0$ と $y=1$ は漸近線です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ と $g(x)$ の増減表とグラフは、上記の計算と分析に基づいて作成できます。具体的な数値やグラフについては、計算ソフトやグラフ描画ツールを使用してください。

増減表とグラフの作成は、上記の手順に従って行なってください。