以下の2つの関数を積分する問題です。 (1) $x \log|x|$ (2) $x \cos x$

1. 問題の内容

以下の2つの関数を積分する問題です。

(1) $x \log|x|$

(2) $x \cos x$

2. 解き方の手順

(1) $x \log|x|$ の積分

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は、

$\int u dv = uv - \int v du$

です。

$u = \log|x|$ と $dv = x dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$ および $v = \frac{x^2}{2}$

となります。

したがって、

$\int x \log|x| dx = \frac{x^2}{2} \log|x| - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log|x| - \int \frac{x}{2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log|x| - \frac{x^2}{4} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

(2) $x \cos x$ の積分

この積分も部分積分を使って解きます。

$u = x$ と $dv = \cos x dx$ とおくと、

$du = dx$ および $v = \sin x$

となります。

したがって、

$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx$

$= x \sin x - (-\cos x) + C$

$= x \sin x + \cos x + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

(1) $\int x \log|x| dx = \frac{x^2}{2} \log|x| - \frac{x^2}{4} + C$

(2) $\int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C$