$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解け。 (1) $\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\frac{1}{2} \leq \cos \theta \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\tan \theta \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解け。

(1) $\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{1}{2} \leq \cos \theta \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\tan \theta \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

まず、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求める。単位円を考えると、$\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。

$\sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ である。

(2) $\frac{1}{2} \leq \cos \theta \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

まず、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めると、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。

次に、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を求めると、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ である。

$\frac{1}{2} \leq \cos \theta \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは、$\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{4}$ である。

(3) $\tan \theta \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

まず、$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ を求めると、$\theta = \frac{\pi}{6}$ である。

$\tan \theta$ は周期 $\pi$ の関数なので、$\tan(\theta + \pi) = \tan \theta$である。したがって$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるもう一つの解は、$\theta = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$である。

$\tan \theta$ のグラフを考慮すると、$\tan \theta \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは、$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ かつ $\frac{\pi}{6} \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、または $\pi \leq \theta < \frac{3\pi}{2}$ かつ $\frac{7\pi}{6} \leq \theta < \frac{3\pi}{2}$のときである。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ および $\theta = \frac{3\pi}{2}$ では、$\tan \theta$ は定義されないことに注意する。

したがって、$\frac{\pi}{6} \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{7\pi}{6} \leq \theta < \frac{3\pi}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ , $\frac{5\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{7\pi}{4}$

(3) $\frac{\pi}{6} \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ , $\frac{7\pi}{6} \leq \theta < \frac{3\pi}{2}$