関数 $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) を対数微分法で微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = (\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) を対数微分法で微分する。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$$\ln y = \ln (\sin x)^x = x \ln (\sin x)$$

次に、両辺を $x$ で微分します。

左辺は、$y$ で微分してから $y$ を $x$ で微分することで、

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$$

となります。

右辺は、積の微分法を用いて、

$$\frac{d}{dx} (x \ln (\sin x)) = \frac{d}{dx}(x) \ln(\sin x) + x \frac{d}{dx} (\ln(\sin x))$$

$$= \ln(\sin x) + x \frac{1}{\sin x} \cos x = \ln(\sin x) + x \cot x$$

となります。

したがって、

$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\sin x) + x \cot x$$

両辺に $y$ をかけると、

$$\frac{dy}{dx} = y (\ln(\sin x) + x \cot x)$$

ここで、$y = (\sin x)^x$ を代入すると、

$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^x (\ln(\sin x) + x \cot x)$$