問題Iは、微分方程式 $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = 0$ の一般解を求める問題です。 問題IIは、微分方程式 $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}$ を初期条件 $y(0)=1$ の下で解く問題です。

1. 問題の内容

問題Iは、微分方程式 $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = 0$ の一般解を求める問題です。

問題IIは、微分方程式 $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}$ を初期条件 $y(0)=1$ の下で解く問題です。

2. 解き方の手順

問題I：

この微分方程式は変数分離形なので、以下のように解きます。

1. 変数を分離します。

$\frac{dy}{y} = -\frac{2x}{1+x^2}dx$

2. 両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -\frac{2x}{1+x^2}dx$

$\ln|y| = -\ln(1+x^2) + C$

3. 指数関数をとります。

$|y| = e^{-\ln(1+x^2) + C} = e^C e^{-\ln(1+x^2)} = e^C \frac{1}{1+x^2}$

4. $A = \pm e^C$ とおくと、一般解は

$y = \frac{A}{1+x^2}$

問題II：

この微分方程式は1階線形微分方程式なので、積分因子を求める方法で解きます。

1. 積分因子 $\mu(x)$ を求めます。

$\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{1+x^2}dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$

2. 微分方程式の両辺に積分因子をかけます。

$(1+x^2)\frac{dy}{dx} + 2xy = 1$

3. 左辺は積の微分でまとめられます。

$\frac{d}{dx}((1+x^2)y) = 1$

4. 両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}((1+x^2)y) dx = \int 1 dx$

$(1+x^2)y = x + C$

5. よって、一般解は

$y = \frac{x+C}{1+x^2}$

6. 初期条件 $y(0)=1$ を代入してCを求めます。

$1 = \frac{0+C}{1+0^2} = C$

したがって、$C=1$

7. 初期条件を満たす解は

$y = \frac{x+1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

問題I：

$y = \frac{A}{1+x^2}$

問題II：

$y = \frac{x+1}{1+x^2}$