関数 $f(x) = \log(x+1)$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) 第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ に対してマクローリンの定理を適用します。 (3) $\log 1.2$ の値を小数点第3位まで求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(x+1)$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) 第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ に対してマクローリンの定理を適用します。

(3) $\log 1.2$ の値を小数点第3位まで求めます。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求める。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

$f(x) = \log(x+1)$

$f'(x) = \frac{1}{x+1} = (x+1)^{-1}$

$f''(x) = -1(x+1)^{-2}$

$f'''(x) = (-1)(-2)(x+1)^{-3} = 2(x+1)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = 2(-3)(x+1)^{-4} = -6(x+1)^{-4}$

一般に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(x+1)^{-n}$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^{n}}$

(2) 関数 $f(x)$ に対してマクローリンの定理を適用する。

マクローリンの定理は、関数を原点における導関数の値を用いて級数で表すものです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots$

$f(0) = \log(0+1) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{0+1} = 1$

$f''(0) = -1(0+1)^{-2} = -1$

$f'''(0) = 2(0+1)^{-3} = 2$

$f^{(4)}(0) = -6(0+1)^{-4} = -6$

$f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$

$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!} = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$

したがって、

$f(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$

$\log(x+1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$

(3) $\log 1.2$ の値を小数点第3位まで求める。

$\log 1.2 = \log(0.2+1)$ なので、$x = 0.2$ を代入します。

$\log(1.2) = 0.2 - \frac{(0.2)^2}{2} + \frac{(0.2)^3}{3} - \frac{(0.2)^4}{4} + \dots$

$= 0.2 - \frac{0.04}{2} + \frac{0.008}{3} - \frac{0.0016}{4} + \dots$

$= 0.2 - 0.02 + 0.002666\dots - 0.0004 + \dots$

$= 0.18 + 0.002666\dots - 0.0004 + \dots$

$= 0.182666\dots - 0.0004 + \dots$

$= 0.182266\dots$

小数点第3位まで求めると、0.182 となります。

3. 最終的な答え

(1) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^{n}}$

(2) $\log(x+1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$

(3) 0.182