与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2-1)-1}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x+1)}{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2-1)-1}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x+1)}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2-1)-1}{x-1}$ を求めます。

$x-1 = h$ とおくと、$x = h+1$ であり、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ です。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2-1)-1}{x-1} = \lim_{h \to 0} \frac{\exp((h+1)^2-1)-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\exp(h^2+2h)-1}{h}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ であることを利用します。

$\lim_{h \to 0} \frac{\exp(h^2+2h)-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\exp(h^2+2h)-1}{h^2+2h} \cdot \frac{h^2+2h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\exp(h^2+2h)-1}{h^2+2h} \cdot \lim_{h \to 0} (h+2) = 1 \cdot 2 = 2$

または、ロピタルの定理を使用します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2-1)-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\exp(x^2-1)-1)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x\exp(x^2-1)}{1} = 2\cdot1\cdot\exp(1^2-1) = 2\exp(0) = 2$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x+1)}{x^2}$ を求めます。

ロピタルの定理を2回使用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x+1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x+1}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x+1-1}{x+1}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(2x)(x+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(x+1)} = \frac{1}{2(0+1)} = \frac{1}{2}$

または、テイラー展開を利用します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x+1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \cdots) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1/2