次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 8\sin{x}}{6x^2 + 4x}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 8\sin{x}}{6x^2 + 4x}$

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ のとき、 $\sin{x}$ は $-1$ から $1$ の間の値を振動するため、$8\sin{x}$ は有界です。

$6x^2$ で分子と分母を割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + 8\sin{x}}{6x^2 + 4x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{8\sin{x}}{6x^2}}{1 + \frac{4x}{6x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4\sin{x}}{3x^2}}{1 + \frac{2}{3x}}$

ここで、$\lim_{x \to \infty} \frac{4\sin{x}}{3x^2} = 0$ であり、$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3x} = 0$ であることを利用します。

なぜなら、$-1 \le \sin{x} \le 1$ より、 $-\frac{4}{3x^2} \le \frac{4\sin{x}}{3x^2} \le \frac{4}{3x^2}$ であり、$x \to \infty$ のとき $\frac{4}{3x^2} \to 0$ なので、挟み撃ちの原理より $\frac{4\sin{x}}{3x^2} \to 0$ となるからです。

よって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4\sin{x}}{3x^2}}{1 + \frac{2}{3x}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

3. 最終的な答え

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