次の極限を計算します： $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$

1. 問題の内容

次の極限を計算します：

$\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$

2. 解き方の手順

まず、$y = (1-e^x)^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = x \ln(1-e^x)$

ここで、$x \to -0$ のとき、$\ln(1-e^x) \to \ln(1-1) = \ln(0) = -\infty$ となり、$x \ln(1-e^x)$ は不定形 $-0 \cdot (-\infty)$ となります。

したがって、$\ln y = x \ln(1-e^x) = \frac{\ln(1-e^x)}{\frac{1}{x}}$ と変形します。このとき、$x \to -0$ のとき、分子は $-\infty$ に、分母も $-\infty$ に近づくので、ロピタルの定理を用いることができます。

$\lim_{x \to -0} \frac{\ln(1-e^x)}{\frac{1}{x}}$

$= \lim_{x \to -0} \frac{\frac{-e^x}{1-e^x}}{-\frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x \to -0} \frac{e^x x^2}{1-e^x}$

これはまだ不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、再度ロピタルの定理を用います。

$\lim_{x \to -0} \frac{e^x x^2}{1-e^x} = \lim_{x \to -0} \frac{e^x x^2 + 2xe^x}{-e^x} = \lim_{x \to -0} \frac{x^2+2x}{-1} = 0$

したがって、$\lim_{x \to -0} \ln y = 0$

ゆえに、$\lim_{x \to -0} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x = 1$