次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2 - 1) - 1}{x - 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x + 1)}{x^2}$ (3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$ (4) $\lim_{x \to 1+0} (\log x)^{x-1}$ (5) $\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1 - x} - \frac{1}{\log x} \right) (x - 1)$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2 - 1) - 1}{x - 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x + 1)}{x^2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x$

(4) $\lim_{x \to 1+0} (\log x)^{x-1}$

(5) $\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1 - x} - \frac{1}{\log x} \right) (x - 1)$

2. 解き方の手順

(1)

$x - 1 = t$ と置くと、$x = t + 1$ であり、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ です。よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2 - 1) - 1}{x - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{\exp((t + 1)^2 - 1) - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\exp(t^2 + 2t) - 1}{t}$

ここで、$t \to 0$ のとき $\exp(t^2 + 2t) - 1 \approx t^2 + 2t$ なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{\exp(t^2 + 2t) - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 + 2t}{t} = \lim_{t \to 0} (t + 2) = 2$

または、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 1} \frac{\exp(x^2 - 1) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{2x \exp(x^2 - 1)}{1} = 2 \cdot \exp(0) = 2$

(2)

ロピタルの定理を2回使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(x + 1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{x + 1}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x + 1}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(x + 1)} = \frac{1}{2}$

(3)

$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{-2}{x})^x = e^{-2}$

(4)

$t = x - 1$ と置くと、$x = t + 1$ であり、$x \to 1+0$ のとき $t \to +0$ です。

よって、

$\lim_{x \to 1+0} (\log x)^{x-1} = \lim_{t \to +0} (\log (t+1))^{t} = \lim_{t \to +0} \exp(t \log(\log(t+1)))$.

ここで、$t \to 0$ のとき $\log (t+1) \sim t$ であるから、

$\lim_{t \to +0} t \log (\log (t+1)) = \lim_{t \to +0} t \log t = 0$.

したがって、$\lim_{x \to 1+0} (\log x)^{x-1} = e^0 = 1$.

(5)

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1 - x} - \frac{1}{\log x} \right) (x - 1) = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x - (1 - x)}{(1 - x) \log x} (x - 1) = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x + x - 1}{(1 - x) \log x} (x - 1) = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x + x - 1}{-\log x}$.

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 1} \frac{x \log x + x - 1}{-\log x} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x + 1 + 1}{-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} -x(\log x + 2) = -1(0+2) = -2$.

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $e^{-2}$

(4) 1

(5) -2