$\int \frac{2}{x^2 + 2x} dx$ を計算します。

わかりました。画像にある問題のうち、以下の問題について解いていきます。

[1]の

1. $\int \frac{2}{x^2 + 2x} dx$

[2]の

1. $\int \frac{1}{\cos x} dx$

**[1]

1. $\int \frac{2}{x^2 + 2x} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{2}{x^2 + 2x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 + 2x = x(x+2)$なので、

$\frac{2}{x^2 + 2x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$

と置きます。両辺に$x(x+2)$を掛けると、

$2 = A(x+2) + Bx$

となります。

$x = 0$のとき、$2 = 2A$より、$A = 1$

$x = -2$のとき、$2 = -2B$より、$B = -1$

したがって、

$\frac{2}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}$

よって、

$\int \frac{2}{x^2 + 2x} dx = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+2} dx = \log |x| - \log |x+2| + C = \log \left|\frac{x}{x+2}\right| + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\log \left|\frac{x}{x+2}\right| + C$

**[2]

1. $\int \frac{1}{\cos x} dx$**

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$

ここで、$u = \sin x$と置くと、$du = \cos x dx$となるので、

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1}{1 - u^2} du$

$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{(1-u)(1+u)} = \frac{A}{1-u} + \frac{B}{1+u}$

と置くと、$1 = A(1+u) + B(1-u)$

$u = 1$のとき、$1 = 2A$より、$A = \frac{1}{2}$

$u = -1$のとき、$1 = 2B$より、$B = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u}\right)$

$\int \frac{1}{1 - u^2} du = \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u}\right) du = \frac{1}{2} (-\log |1-u| + \log |1+u|) + C = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+u}{1-u}\right| + C = \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| + C$

ここで、

$\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} = \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} = \frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x} = \left(\frac{1 + \sin x}{\cos x}\right)^2 = (\sec x + \tan x)^2$

なので、

$\frac{1}{2} \log \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| = \frac{1}{2} \log (\sec x + \tan x)^2 = \log |\sec x + \tan x| + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\log |\sec x + \tan x| + C$