関数 $f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を微分するには、商の微分公式を使用します。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ であり、$v = (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$です。

まず、$u$ と $v$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 2) = 2x - 3$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x + 2) = 2x + 3$

次に、商の微分公式を適用します。

$f'(x) = \frac{(2x-3)(x^2+3x+2) - (x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^3 + 6x^2 + 4x - 3x^2 - 9x - 6) - (2x^3 - 6x^2 + 4x + 3x^2 - 9x + 6)}{(x^2+3x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^3 + 3x^2 - 5x - 6) - (2x^3 - 3x^2 - 5x + 6)}{(x^2+3x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 6}{(x^2+3x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{6x^2 - 12}{(x^2+3x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{6(x^2 - 2)}{(x^2+3x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{6(x^2 - 2)}{((x+1)(x+2))^2}$

$f'(x) = \frac{6(x^2 - 2)}{(x+1)^2 (x+2)^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{6(x^2-2)}{(x+1)^2(x+2)^2}$