定積分 $\int_{1}^{2} \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = \log c$ を満たす実数 $c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = \log c$ を満たす実数 $c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、定積分 $\int_{1}^{2} \frac{\log(x+1)}{x^2} dx$ を部分積分を用いて計算します。

$u = \log(x+1)$, $dv = \frac{1}{x^2}dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x+1}dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int_{1}^{2} \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = \left[-\frac{\log(x+1)}{x}\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+1} dx$

$= \left[-\frac{\log(x+1)}{x}\right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x(x+1)} dx$

$= \left[-\frac{\log(3)}{2} + \log(2)\right] + \int_{1}^{2} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx$

$= -\frac{\log(3)}{2} + \log(2) + \left[\log x - \log(x+1)\right]_{1}^{2}$

$= -\frac{\log(3)}{2} + \log(2) + \left[\log \frac{x}{x+1}\right]_{1}^{2}$

$= -\frac{\log(3)}{2} + \log(2) + \left(\log \frac{2}{3} - \log \frac{1}{2}\right)$

$= -\frac{\log(3)}{2} + \log(2) + \log \frac{2}{3} + \log 2$

$= 2\log(2) - \frac{\log(3)}{2} + \log\left(\frac{2}{3}\right)$

$= 2\log(2) - \frac{\log(3)}{2} + \log(2) - \log(3)$

$= 3\log(2) - \frac{3}{2}\log(3) = \log(2^3) - \log(3^{3/2})$

$= \log(8) - \log(3\sqrt{3}) = \log\frac{8}{3\sqrt{3}} = \log\frac{8\sqrt{3}}{9}$

与えられた等式 $\int_{1}^{2} \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = \log c$ と比較して、$\log c = \log\frac{8\sqrt{3}}{9}$ となるので、 $c = \frac{8\sqrt{3}}{9}$ となります。

3. 最終的な答え

$c = \frac{8\sqrt{3}}{9}$