定積分 $\int_{-1}^{2} (3x+1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (3x+1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int (3x+1) dx$ を計算します。

これは、各項を個別に積分することで計算できます。

$\int 3x dx = \frac{3}{2}x^2 + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

よって、$\int (3x+1) dx = \frac{3}{2}x^2 + x + C$ （ただし、$C=C_1+C_2$は積分定数）。

次に、定積分 $\int_{-1}^{2} (3x+1) dx$ を計算します。

積分範囲の上端と下端をそれぞれ計算し、その差を求めます。

$\left[\frac{3}{2}x^2 + x\right]_{-1}^{2} = \left(\frac{3}{2}(2)^2 + 2\right) - \left(\frac{3}{2}(-1)^2 + (-1)\right)$

$= \left(\frac{3}{2}(4) + 2\right) - \left(\frac{3}{2}(1) - 1\right)$

$= (6 + 2) - (\frac{3}{2} - 1)$

$= 8 - (\frac{1}{2})$

$= 8 - \frac{1}{2}$

$= \frac{16}{2} - \frac{1}{2}$

$= \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{2}$