次の微分方程式の一般解を求めます。 $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2} y = 0$

## 問題I

1. 問題の内容

次の微分方程式の一般解を求めます。

$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2} y = 0$

2. 解き方の手順

これは1階線形同次微分方程式なので、変数分離法で解くことができます。

まず、式を以下のように変形します。

$\frac{dy}{y} = -\frac{2x}{1+x^2} dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -\frac{2x}{1+x^2} dx$

左辺の積分は $\ln|y|$ となります。

右辺の積分は、 $u = 1+x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となり、

$\int -\frac{2x}{1+x^2} dx = \int -\frac{1}{u} du = -\ln|u| + C = -\ln(1+x^2) + C$ となります。

（$1+x^2$は常に正なので絶対値記号は不要です。）

したがって、

$\ln|y| = -\ln(1+x^2) + C$

両辺の指数関数をとります。

$|y| = e^{-\ln(1+x^2) + C} = e^C e^{-\ln(1+x^2)} = e^C \frac{1}{1+x^2}$

$e^C$ を新たな定数 $A$ ($A \neq 0$) と置き換えると、

$y = \pm A \frac{1}{1+x^2}$

$A$ は任意の定数なので, $y = A \frac{1}{1+x^2}$ と表せます。

($A = 0$ も含みます)

3. 最終的な答え

$y = \frac{A}{1+x^2}$ (Aは任意定数)

## 問題II

1. 問題の内容

次の微分方程式の初期条件を満たす解を求めます。

$\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{1}{1+x^2}$, $y(0)=1$

2. 解き方の手順

これは1階線形非同次微分方程式なので、積分因子を用いて解くことができます。

まず、積分因子 $\mu(x)$ を求めます。

$\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx}$

$\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2)$ なので、

$\mu(x) = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$

与えられた微分方程式の両辺に積分因子 $\mu(x) = 1+x^2$ を掛けます。

$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2x y = 1$

左辺は積の微分 $\frac{d}{dx}[(1+x^2)y]$ になります。

$\frac{d}{dx}[(1+x^2)y] = 1$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}[(1+x^2)y] dx = \int 1 dx$

$(1+x^2)y = x + C$

$y = \frac{x+C}{1+x^2}$

初期条件 $y(0)=1$ を適用します。

$1 = \frac{0+C}{1+0^2}$

$1 = \frac{C}{1}$

$C = 1$

したがって、求める解は

$y = \frac{x+1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{x+1}{1+x^2}$