関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ ($x>0$) の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ であることを用いて、関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ ($x>0$) の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ であることを用いて、関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を微分する。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ を微分する。ここで、$y$ は $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ であることが与えられている。

逆関数の微分公式を用いて、$\frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ を求める。

まず、$f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ を微分する。

$f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

次に、$f'(f^{-1}(x))$ を求める。

$f^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ であるから、

$f'(f^{-1}(x)) = f'(\frac{1}{\sqrt{x}}) = -\frac{2}{(\frac{1}{\sqrt{x}})^3} = -2(\sqrt{x})^3 = -2x^{\frac{3}{2}}$

したがって、$\frac{d}{dx} f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{-2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

あるいは、直接微分することもできる。$y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$