関数 $f(x, y) = e^{-2x^2 - y^2}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (2) $f(x, y)$ を $xy$ 平面上の原点 $O$ のまわりで、二次の項までテイラー展開する。 (3) $xy$ 平面上の点 $P(1, 1)$ において、$f(x, y)$ が最も増加する方向を表すベクトルを求める。 (4) 点 $P$ を通る $f$ の等高線 ($f(x, y) =$ 一定の線) と、その等高線上での勾配ベクトルの概形を図示する。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = e^{-2x^2 - y^2}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(2) $f(x, y)$ を $xy$ 平面上の原点 $O$ のまわりで、二次の項までテイラー展開する。

(3) $xy$ 平面上の点 $P(1, 1)$ において、$f(x, y)$ が最も増加する方向を表すベクトルを求める。

(4) 点 $P$ を通る $f$ の等高線 ($f(x, y) =$ 一定の線) と、その等高線上での勾配ベクトルの概形を図示する。

2. 解き方の手順

(2) $f(x,y)$ を原点Oのまわりで2次までテイラー展開する。テイラー展開は次の式で与えられる。

$f(x,y) \approx f(0,0) + \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0)x^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)xy + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0)y^2$

まず、$f(0, 0)$ を求める。

$f(0, 0) = e^{-2(0)^2 - (0)^2} = e^0 = 1$

次に、偏微分を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x} = -4xe^{-2x^2 - y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -2ye^{-2x^2 - y^2}$

原点での偏微分の値を計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = -4(0)e^{-2(0)^2 - (0)^2} = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = -2(0)e^{-2(0)^2 - (0)^2} = 0$

次に、二階偏微分を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (-4 + 16x^2)e^{-2x^2 - y^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (-2 + 4y^2)e^{-2x^2 - y^2}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 8xy e^{-2x^2 - y^2}$

原点での二階偏微分の値を計算する。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 0) = (-4 + 16(0)^2)e^{-2(0)^2 - (0)^2} = -4$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0, 0) = (-2 + 4(0)^2)e^{-2(0)^2 - (0)^2} = -2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = 8(0)(0) e^{-2(0)^2 - (0)^2} = 0$

したがって、テイラー展開は

$f(x, y) \approx 1 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(-4)x^2 + 0xy + \frac{1}{2}(-2)y^2$

$f(x, y) \approx 1 - 2x^2 - y^2$

(3) $f(x, y)$ が最も増加する方向を表すベクトルは、勾配ベクトル $\nabla f$ で与えられる。

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$

$\frac{\partial f}{\partial x} = -4xe^{-2x^2 - y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -2ye^{-2x^2 - y^2}$

$\nabla f = \left(-4xe^{-2x^2 - y^2}, -2ye^{-2x^2 - y^2}\right)$

点 $P(1, 1)$ における勾配ベクトルは

$\nabla f(1, 1) = \left(-4(1)e^{-2(1)^2 - (1)^2}, -2(1)e^{-2(1)^2 - (1)^2}\right) = \left(-4e^{-3}, -2e^{-3}\right)$

(4) 点 $P(1, 1)$ を通る $f$ の等高線は $f(x, y) = f(1, 1)$ で与えられる。

$f(1, 1) = e^{-2(1)^2 - (1)^2} = e^{-3}$

したがって、等高線は $e^{-2x^2 - y^2} = e^{-3}$、つまり $-2x^2 - y^2 = -3$、または $2x^2 + y^2 = 3$ となる。これは楕円である。

等高線上の勾配ベクトルは、等高線に垂直な方向を向く。

3. 最終的な答え

(2) $f(x, y) \approx 1 - 2x^2 - y^2$

(3) $\nabla f(1, 1) = \left(-4e^{-3}, -2e^{-3}\right)$

(4) 等高線は楕円 $2x^2 + y^2 = 3$ であり、勾配ベクトルは等高線に垂直な方向を向く。