$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}}$ を計算します。

## 問題4

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしているので、ロピタルの定理を繰り返し適用します。

まず、1回目のロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{2e^{2x}}$

これはまだ $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしているので、2回目のロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{2e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x}{4e^{2x}}$

これもまだ $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしているので、3回目のロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{4e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{8e^{2x}}$

$x \to \infty$ のとき、$e^{2x} \to \infty$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{6}{8e^{2x}} = 0$

3. 最終的な答え

0

## 問題7

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \cos x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を適用します。

まず、1回目のロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x - x \sin x}$

これはまだ $\frac{0}{1}$の形になっているので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x - x \sin x} = \frac{1-1}{1-0}=\frac{0}{1}=0$

3. 最終的な答え

0

## 問題9

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -2} \frac{2x^3 + x^2 - 5x + 2}{3x^3 + x^2 - 12x - 4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x = -2$ を代入すると、分子は $2(-8) + 4 - 5(-2) + 2 = -16 + 4 + 10 + 2 = 0$ となり、分母は $3(-8) + 4 - 12(-2) - 4 = -24 + 4 + 24 - 4 = 0$ となるので、$\frac{0}{0}$の不定形です。

分子と分母は $x + 2$ を因数に持ちます。

分子を因数分解すると $2x^3 + x^2 - 5x + 2 = (x + 2)(2x^2 - 3x + 1) = (x + 2)(2x - 1)(x - 1)$

分母を因数分解すると $3x^3 + x^2 - 12x - 4 = (x + 2)(3x^2 - 5x - 2) = (x + 2)(3x + 1)(x - 2)$

したがって、

$\lim_{x \to -2} \frac{2x^3 + x^2 - 5x + 2}{3x^3 + x^2 - 12x - 4} = \lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(2x - 1)(x - 1)}{(x + 2)(3x + 1)(x - 2)} = \lim_{x \to -2} \frac{(2x - 1)(x - 1)}{(3x + 1)(x - 2)}$

$x = -2$ を代入すると、$\frac{(2(-2) - 1)(-2 - 1)}{(3(-2) + 1)(-2 - 2)} = \frac{(-4 - 1)(-3)}{(-6 + 1)(-4)} = \frac{(-5)(-3)}{(-5)(-4)} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$

## 問題11

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + x^2)}{\log x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ のとき、$x^2$ が $1$ よりもずっと大きくなるので、$\log(1 + x^2) \approx \log(x^2) = 2 \log x$ と近似できます。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + x^2)}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x^2)}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x}{\log x} = 2$

またはロピタルの定理を適用することも可能です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + x^2)}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{1 + x^2}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{1 + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{1}{x^2} + 1} = \frac{2}{0 + 1} = 2$

3. 最終的な答え

2