関数 $y = \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。各軸との交点の座標も書き込む必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。各軸との交点の座標も書き込む必要があります。

2. 解き方の手順

まず、関数を微分して、増減、極値、凹凸、変曲点を調べます。

1. 定義域の確認

関数は $x = -1$ で定義されていません。定義域は $x \neq -1$ となります。

2. 一階微分

$y' = \frac{d}{dx} \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}$ を計算します。商の微分公式を用いて、

$y' = \frac{3(x-1)^2(x+1)^2 - (x-1)^3 \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{(x-1)^2(x+1)(3(x+1) - 2(x-1))}{(x+1)^4} = \frac{(x-1)^2(3x+3 - 2x + 2)}{(x+1)^3} = \frac{(x-1)^2(x+5)}{(x+1)^3}$

$y' = \frac{(x-1)^2(x+5)}{(x+1)^3}$

3. 二階微分

$y'' = \frac{d}{dx} \frac{(x-1)^2(x+5)}{(x+1)^3}$ を計算します。商の微分公式を用いて、

$y'' = \frac{((x-1)^2 + 2(x-1)(x+5))(x+1)^3 - (x-1)^2(x+5)3(x+1)^2}{(x+1)^6}$

$= \frac{(2(x-1)(x+5) + (x-1)^2 )(x+1)^3-3(x+5)(x-1)^2 (x+1)^2}{(x+1)^6}$

$= \frac{((x-1)(2x+10)+(x^2-2x+1))(x+1)-3(x+5)(x-1)^2}{(x+1)^4}$

$= \frac{(2x^2+8x-10+x^2-2x+1)(x+1) -3(x+5)(x^2-2x+1)}{(x+1)^4}$

$= \frac{(3x^2+6x-9)(x+1) -3(x^3+3x^2-9x+5)}{(x+1)^4}$

$= \frac{3x^3+3x^2+6x^2+6x-9x-9 -3x^3 -9x^2+27x -15}{(x+1)^4}$

$= \frac{24x-24}{(x+1)^4} = \frac{24(x-1)}{(x+1)^4}$

4. 増減表

$y' = 0$ となるのは $x = 1, -5$。$y'' = 0$ となるのは $x = 1$。$x = -1$ で定義されないことに注意して増減表を作ります。

| x | ... | -5 | ... | -1 | ... | 1 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | - | - | 0 | + |

| y | ↗ | 極大 | ↘ | 不定 | ↘ | 0 | ↗ |

極大値は $x = -5$ のとき $y = \frac{(-5-1)^3}{(-5+1)^2} = \frac{(-6)^3}{(-4)^2} = \frac{-216}{16} = -\frac{27}{2}$。

変曲点は $x = 1$ のとき $y = 0$。

5. グラフの概形

増減表をもとにグラフの概形を描きます。

極大値は $(-5, -\frac{27}{2})$。

変曲点は $(1, 0)$。

$x = -1$ で漸近線。

$x$ 軸との交点は $(1, 0)$。$y$ 軸との交点は $(0, -1)$。

3. 最終的な答え

関数 $y = \frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}$ の増減、極値、凹凸、変曲点は以下の通りです。

* 極大値: $(-5, -\frac{27}{2})$

* 変曲点: $(1, 0)$

グラフの概形は上記の情報を元に描画してください。