数列 $\{(x^2 - 2x - 1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{(x^2 - 2x - 1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は、$-1 < r \leq 1$ です。

したがって、数列 $\{(x^2 - 2x - 1)^n\}$ が収束するための条件は、

$$-1 < x^2 - 2x - 1 \leq 1$$

です。

この不等式を2つに分けて考えます。

(1) $x^2 - 2x - 1 \leq 1$

$x^2 - 2x - 2 \leq 0$

$x^2 - 2x - 2 = 0$ を解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$1-\sqrt{3} \leq x \leq 1+\sqrt{3}$

(2) $-1 < x^2 - 2x - 1$

$0 < x^2 - 2x$

$0 < x(x-2)$

したがって、$x < 0$ または $2 < x$

(1)と(2)を合わせて考えると、

$1 - \sqrt{3} \leq x < 0$ または $2 < x \leq 1 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、$1 - \sqrt{3} \approx -0.732$ および $1 + \sqrt{3} \approx 2.732$

3. 最終的な答え

$1-\sqrt{3} \leq x < 0$ または $2 < x \leq 1+\sqrt{3}$