次の3つの関数について、マクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）を求める問題です。 (1) $\frac{1}{x^2 - 3x + 2}$ (2) $\frac{x}{(x+2)^2}$ (3) $\log \frac{1-x}{1+x}$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、マクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）を求める問題です。

(1) $\frac{1}{x^2 - 3x + 2}$

(2) $\frac{x}{(x+2)^2}$

(3) $\log \frac{1-x}{1+x}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x^2 - 3x + 2}$ のマクローリン展開

まず、部分分数分解を行います。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$なので、

$\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ とおくと、

$1 = A(x-2) + B(x-1)$

$x=1$のとき $1 = A(1-2) = -A$ より $A=-1$

$x=2$のとき $1 = B(2-1) = B$ より $B=1$

よって、$\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2-x}$

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ( $|x|<1$ )

$\frac{1}{2-x} = \frac{1}{2(1-\frac{x}{2})} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}}$ ( $|x|<2$ )

したがって、$\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} (1 - \frac{1}{2^{n+1}}) x^n$

(2) $\frac{x}{(x+2)^2}$ のマクローリン展開

$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{x+2-2}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} - \frac{2}{(x+2)^2}$

$\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2(1+\frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{x}{2})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}}$

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{x+2}) = -\frac{1}{(x+2)^2}$ なので、

$-\frac{1}{(x+2)^2} = \frac{d}{dx} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^{n-1}}{2^{n+1}}$

$\frac{2}{(x+2)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n x^{n-1}}{2^n}$

$\frac{x}{(x+2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n x^{n-1}}{2^n}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n x^{n-1}}{2^n}$

$= \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n x^{n-1}}{2^n}$

$m = n-1$ とおくと、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n x^{n-1}}{2^n} = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1} (m+1) x^{m}}{2^{m+1}}$

$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (n+1) x^{n}}{2^{n+1}}$

$= \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1} (n+1)}{2^{n+1}}) x^n = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(1 - (n+1))}{2^{n+1}} x^n$

$= \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (-n)}{2^{n+1}} x^n = \frac{1}{2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{2^{n+1}} x^n$

$= \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{2^{n+1}} x^n$

(3) $\log \frac{1-x}{1+x}$ のマクローリン展開

$\log \frac{1-x}{1+x} = \log (1-x) - \log (1+x)$

$\log (1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$\log (1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

$\log \frac{1-x}{1+x} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + (-1)^{n-1}}{n} x^n$

$n$が偶数のとき $1 + (-1)^{n-1} = 0$

$n$が奇数のとき $1 + (-1)^{n-1} = 2$

よって、$\log \frac{1-x}{1+x} = -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2k+1} x^{2k+1} = -2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

$= -2 (x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + ...)$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} (1 - \frac{1}{2^{n+1}}) x^n$

(2) $\frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{2^{n+1}} x^n$

(3) $-2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$