問題5は、総和の計算問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k - 4)$ 問題6は、極限の計算問題です。 (1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 5}{2x^2 - 3x + 1}$ (2) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 5x + 6}$

1. 問題の内容

問題5は、総和の計算問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k - 4)$

問題6は、極限の計算問題です。

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 5}{2x^2 - 3x + 1}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 5x + 6}$

2. 解き方の手順

問題5 (1)

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2\frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n = n(n+2)$

問題5 (2)

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k - 4) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k - 4\sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} - 4n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) - 24n}{6} = \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) + 9(n+1) - 24] = \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 - 24] = \frac{n}{6} [2n^2 + 12n - 14] = \frac{n(n^2 + 6n - 7)}{3} = \frac{n(n-1)(n+7)}{3}$

問題6 (1)

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 5}{2x^2 - 3x + 1} = \frac{3^2 + 2(3) - 5}{2(3^2) - 3(3) + 1} = \frac{9 + 6 - 5}{18 - 9 + 1} = \frac{10}{10} = 1$

問題6 (2)

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 3x - 2}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 2} \frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x \to 2} \frac{2x+1}{x-3} = \frac{2(2) + 1}{2 - 3} = \frac{5}{-1} = -5$

3. 最終的な答え

問題5 (1): $n(n+2)$

問題5 (2): $\frac{n(n-1)(n+7)}{3}$

問題6 (1): $1$

問題6 (2): $-5$