## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の3つの定積分の値を求めよ。

1. $\int_{-1}^{\sqrt{2}-1} \frac{1}{x^2+2x+3} dx$

2. $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

3. $\int_{0}^{1} \arctan x dx$

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2. 解き方の手順

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1. $\int_{-1}^{\sqrt{2}-1} \frac{1}{x^2+2x+3} dx$**

まず、積分の中の式を平方完成する。

$x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$

したがって、積分は次のようになる。

$\int_{-1}^{\sqrt{2}-1} \frac{1}{(x+1)^2 + 2} dx$

ここで、$x+1 = \sqrt{2} \tan \theta$ と置換する。すると、$dx = \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta$ となる。

また、$x=-1$ のとき、$\theta=0$、$x=\sqrt{2}-1$ のとき、$\sqrt{2} \tan \theta = \sqrt{2}-1+1 = \sqrt{2}$ より $\tan \theta = 1$ なので $\theta=\pi/4$ となる。

よって積分は

$\int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2\tan^2 \theta + 2} \sqrt{2} \sec^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{2} \sec^2 \theta}{2 \sec^2 \theta} d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{0}^{\pi/4} d\theta$

$=\frac{\sqrt{2}}{2} [\theta]_{0}^{\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\sqrt{2}\pi}{8}$

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2. $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$**

$x = 2 \sin \theta$ と置換する。すると、$dx = 2\cos \theta d\theta$ となる。

また、$x=0$ のとき、$\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$、$x=\sqrt{3}$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \pi/3$ となる。

よって積分は

$\int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2 \theta}} 2\cos \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{2\cos \theta}{\sqrt{4\cos^2 \theta}} d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{2\cos \theta}{2\cos \theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/3} d\theta$

$= [\theta]_{0}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$

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3. $\int_{0}^{1} \arctan x dx$**

部分積分を行う。$u = \arctan x$、$dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$、$v = x$ となる。

$\int_{0}^{1} \arctan x dx = [x \arctan x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} dx$

$= (1 \cdot \arctan 1 - 0 \cdot \arctan 0) - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} dx$

ここで、$1+x^2 = t$ と置換する。すると、$2x dx = dt$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$ となる。

また、$x=0$ のとき、$t=1$、$x=1$ のとき、$t=2$ となる。

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} [\ln t]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2$

したがって、積分は

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2}$

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3. 最終的な答え

1. $\frac{\sqrt{2}\pi}{8}$

2. $\frac{\pi}{3}$

3. $\frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2}$