数列 $\{(x^2 - 2x - 1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{(x^2 - 2x - 1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は、 $-1 < r \leq 1$ です。

したがって、与えられた数列 $\{(x^2 - 2x - 1)^n\}$ が収束するためには、以下の条件を満たす必要があります。

$-1 < x^2 - 2x - 1 \leq 1$

この不等式は、次の2つの不等式に分解できます。

(1) $x^2 - 2x - 1 \leq 1$

(2) $x^2 - 2x - 1 > -1$

(1) の不等式を解きます。

$x^2 - 2x - 1 \leq 1$

$x^2 - 2x - 2 \leq 0$

$x^2 - 2x - 2 = 0$ の解は、解の公式より $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$1 - \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}$

(2) の不等式を解きます。

$x^2 - 2x - 1 > -1$

$x^2 - 2x > 0$

$x(x - 2) > 0$

したがって、$x < 0$ または $x > 2$

(1)と(2)の共通範囲を求めます。

$1 - \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}$ かつ ($x < 0$ または $x > 2$)

$1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$

$1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732$

したがって、$1 - \sqrt{3} \leq x < 0$ または $2 < x \leq 1 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{3} \leq x < 0$, $2 < x \leq 1 + \sqrt{3}$