関数 $f(x,y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ について、以下の問いに答えます。 (1) 偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。 (2) 関数 $f$ の臨界点を全て求めます。 (3) 各臨界点において、$f$ が極大値を取るか、極小値を取るか、鞍点であるかを判定し、その理由を説明します。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ について、以下の問いに答えます。

(1) 偏微分 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

(2) 関数 $f$ の臨界点を全て求めます。

(3) 各臨界点において、$f$ が極大値を取るか、極小値を取るか、鞍点であるかを判定し、その理由を説明します。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分の計算

まず、$f(x,y)$ を $x$ で偏微分します。

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\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5\right) = x^2 - 2x

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次に、$f(x,y)$ を $y$ で偏微分します。

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\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5\right) = 1 - y^4

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(2) 臨界点の計算

臨界点は、偏微分が両方とも 0 になる点です。つまり、

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\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 - 2x = 0

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\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - y^4 = 0

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一つ目の式から、$x(x-2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 2$ となります。

二つ目の式から、$y^4 = 1$ より、$y = 1$ または $y = -1$ となります。

したがって、臨界点は $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$ の4つです。

(3) 極値の判定

極値を判定するために、二階偏微分を計算します。

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\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2x - 2

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\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -4y^3

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\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 0

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ヘッセ行列式 $D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right)^2 = (2x - 2)(-4y^3) - 0^2 = -4y^3(2x-2)$ を計算します。

* $(0, 1)$ のとき、$D = -4(1)(2(0) - 2) = -4(-2) = 8 > 0$ かつ $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(0) - 2 = -2 < 0$ なので、極大値を取ります。

* $(0, -1)$ のとき、$D = -4(-1)(2(0) - 2) = 4(-2) = -8 < 0$ なので、鞍点です。

* $(2, 1)$ のとき、$D = -4(1)(2(2) - 2) = -4(2) = -8 < 0$ なので、鞍点です。

* $(2, -1)$ のとき、$D = -4(-1)(2(2) - 2) = 4(2) = 8 > 0$ かつ $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2(2) - 2 = 2 > 0$ なので、極小値を取ります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 - 2x$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - y^4$

(2) 臨界点: $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$

(3)

* $(0, 1)$ で極大値を取る。

* $(0, -1)$ で鞍点である。

* $(2, 1)$ で鞍点である。

* $(2, -1)$ で極小値を取る。