与えられた極限の値を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ (4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$ (7) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$

1. 問題の内容

与えられた極限の値を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$

(7) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

$y = x^{\frac{1}{x}}$とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}$。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$を計算するために、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$。

したがって、$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$より、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$。

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$

$y = x^{\sin x}$とおくと、$\ln y = \sin x \ln x$。

$\lim_{x \to +0} \sin x \ln x$を計算するために、$\sin x \approx x$ ($x \to 0$)を利用すると、

$\lim_{x \to +0} \sin x \ln x = \lim_{x \to +0} x \ln x$。

$t = \frac{1}{x}$とおくと、$x = \frac{1}{t}$であり、$x \to +0$のとき、$t \to \infty$である。

$\lim_{x \to +0} x \ln x = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{1}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\ln t}{t}$。

ロピタルの定理を用いると、$\lim_{t \to \infty} \frac{-\ln t}{t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-\frac{1}{t}}{1} = \lim_{t \to \infty} -\frac{1}{t} = 0$。

したがって、$\lim_{x \to +0} \ln y = 0$より、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$。

(7) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$

$y = (1-e^x)^x$とおくと、$\ln y = x \ln (1-e^x)$。

$x \to -0$のとき、$e^x \to 1$となるため、$1-e^x \to 0$となる。

$e^x \approx 1+x$ ($x \to 0$)を利用すると、$1-e^x \approx 1 - (1+x) = -x$。

したがって、$\lim_{x \to -0} x \ln (1-e^x) = \lim_{x \to -0} x \ln (-x)$。

$x = -t$とおくと、$x \to -0$のとき、$t \to +0$である。

$\lim_{x \to -0} x \ln (-x) = \lim_{t \to +0} -t \ln t = - \lim_{t \to +0} t \ln t = 0$。（(4)と同様の方法で$\lim_{t \to +0} t \ln t = 0$を示すことができる。）

したがって、$\lim_{x \to -0} \ln y = 0$より、$\lim_{x \to -0} y = e^0 = 1$。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x} = 1$

(7) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x = 1$