次の定積分を計算し、空欄に適する数値を入力する問題です。 (1) $\int_0^1 \frac{x^2}{(x+2)^3} dx = \log\frac{3}{2} - \frac{\boxed{1}}{\boxed{2}}$ (2) $\int_1^e \frac{\log x}{x} dx = \frac{1}{\boxed{3}}$ (3) $\int_1^e x^2 \log x dx = \frac{\boxed{4}e^3 + \boxed{5}}{9}$ (4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} dx = \frac{\pi}{\boxed{6}}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算し、空欄に適する数値を入力する問題です。

(1) $\int_0^1 \frac{x^2}{(x+2)^3} dx = \log\frac{3}{2} - \frac{\boxed{1}}{\boxed{2}}$

(2) $\int_1^e \frac{\log x}{x} dx = \frac{1}{\boxed{3}}$

(3) $\int_1^e x^2 \log x dx = \frac{\boxed{4}e^3 + \boxed{5}}{9}$

(4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} dx = \frac{\pi}{\boxed{6}}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 \frac{x^2}{(x+2)^3} dx$

$u = x+2$ と置換すると、$x = u-2$、$dx = du$。積分範囲は$x=0 \to u=2$, $x=1 \to u=3$。

$\int_2^3 \frac{(u-2)^2}{u^3} du = \int_2^3 \frac{u^2 - 4u + 4}{u^3} du = \int_2^3 (u^{-1} - 4u^{-2} + 4u^{-3}) du$

$= [\log u + 4u^{-1} - 2u^{-2}]_2^3 = (\log 3 + \frac{4}{3} - \frac{2}{9}) - (\log 2 + \frac{4}{2} - \frac{2}{4})$

$= \log 3 - \log 2 + \frac{12-2}{9} - (2 - \frac{1}{2}) = \log \frac{3}{2} + \frac{10}{9} - \frac{3}{2} = \log \frac{3}{2} + \frac{20 - 27}{18} = \log \frac{3}{2} - \frac{7}{18}$

よって、$\boxed{1}=7$, $\boxed{2}=18$

(2) $\int_1^e \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$。積分範囲は$x=1 \to u=0$, $x=e \to u=1$。

$\int_0^1 u du = [\frac{1}{2}u^2]_0^1 = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

よって、$\boxed{3}=2$

(3) $\int_1^e x^2 \log x dx$

部分積分を用いる。$u = \log x, dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{1}{3}x^3$。

$\int_1^e x^2 \log x dx = [\frac{1}{3}x^3 \log x]_1^e - \int_1^e \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{1}{3}x^3 \log x]_1^e - \frac{1}{3} \int_1^e x^2 dx$

$= (\frac{1}{3}e^3 \log e - \frac{1}{3}(1)^3 \log 1) - \frac{1}{3} [\frac{1}{3}x^3]_1^e = \frac{1}{3}e^3 - 0 - \frac{1}{9}(e^3 - 1) = \frac{3e^3 - e^3 + 1}{9} = \frac{2e^3 + 1}{9}$

よって、$\boxed{4}=2$, $\boxed{5}=1$

(4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x} dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$。積分範囲は$x=0 \to u=0$, $x=\frac{\pi}{2} \to u=1$。

$\int_0^1 \frac{1}{1+u^2} du = [\arctan u]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

よって、$\boxed{6}=4$

3. 最終的な答え

$\boxed{1}=7$

$\boxed{2}=18$

$\boxed{3}=2$

$\boxed{4}=2$

$\boxed{5}=1$

$\boxed{6}=4$