与えられた数列の和の極限を定積分を用いて計算する問題です。数列の各項は $\frac{1}{\sqrt{n^2 - k^2}}$ の形で表され、その和の $n \to \infty$ の極限を求めることが目的です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和の極限を定積分を用いて計算する問題です。数列の各項は $\frac{1}{\sqrt{n^2 - k^2}}$ の形で表され、その和の $n \to \infty$ の極限を求めることが目的です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の式をシグマ記号を用いて書き換えます。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 - (n-1)^2}}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2 - k^2}}$

次に、この式をリーマン和の形に変形します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2 - k^2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n\sqrt{1 - (\frac{k}{n})^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{k}{n})^2}}$

ここで、$x = \frac{k}{n}$ とおくと、$dx = \frac{1}{n}$ となり、積分範囲は $0$ から $1$ となります。したがって、極限は以下の定積分で表されます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

この積分を計算します。$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin(x) + C$ であるから、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = [\arcsin(x)]_{0}^{1} = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

したがって、求める極限の値は $\frac{\pi}{2}$ です。

解答入力欄を埋めます。

1: 0

2: $n^2-k^2$ なので、選択肢より(2)

3: $1-(\frac{k}{n})^2$ なので、選択肢より(6)

4: 0

5: 1

6: $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、選択肢より(14)

7: $\arcsin x$なので、選択肢より(10)

8: 2

3. 最終的な答え

1 = 0

2 = 2

3 = 6

4 = 0

5 = 1

6 = 14

7 = 10

8 = 2