与えられた式 $\sqrt{9x^2+36x+36} - \sqrt{4x^2-8x+4}$ を簡略化し、$x < -5$ の場合と $|x| < 1$ の場合の結果をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{9x^2+36x+36} - \sqrt{4x^2-8x+4}$ を簡略化し、$x < -5$ の場合と $|x| < 1$ の場合の結果をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解する。

$\sqrt{9x^2+36x+36} = \sqrt{9(x^2+4x+4)} = \sqrt{9(x+2)^2} = 3|x+2|$

$\sqrt{4x^2-8x+4} = \sqrt{4(x^2-2x+1)} = \sqrt{4(x-1)^2} = 2|x-1|$

したがって、与えられた式は $3|x+2| - 2|x-1|$ となる。

(i) $x < -5$ の場合：

$x < -5$ ならば、$x+2 < -3$ なので $|x+2| = -(x+2)$。

また、$x-1 < -6$ なので $|x-1| = -(x-1)$。

したがって、

$3|x+2| - 2|x-1| = 3(-(x+2)) - 2(-(x-1)) = -3(x+2) + 2(x-1) = -3x - 6 + 2x - 2 = -x - 8$。

(ii) $|x| < 1$ の場合：

$-1 < x < 1$ ならば、$x+2 > 0$ なので $|x+2| = x+2$。

また、$x-1 < 0$ なので $|x-1| = -(x-1)$。

したがって、

$3|x+2| - 2|x-1| = 3(x+2) - 2(-(x-1)) = 3(x+2) + 2(x-1) = 3x + 6 + 2x - 2 = 5x + 4$。

3. 最終的な答え

$x < -5$ の場合： $-x - 8$

$|x| < 1$ の場合： $5x + 4$