与えられた式の分母を有理化し、式を簡略化します。 与えられた式は $ \frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}} $ です。

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化し、式を簡略化します。

与えられた式は $\frac{1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \sqrt{5} = a$ と置きます。すると、与えられた式は $\frac{1}{a + \sqrt{6}}$ となります。

分母を有理化するために、$a - \sqrt{6}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{a + \sqrt{6}} = \frac{a - \sqrt{6}}{(a + \sqrt{6})(a - \sqrt{6})} = \frac{a - \sqrt{6}}{a^2 - 6}$

$a$ に $1 + \sqrt{5}$ を代入します。

$a - \sqrt{6} = 1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}$

$a^2 = (1 + \sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$

したがって、

$\frac{a - \sqrt{6}}{a^2 - 6} = \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{(6 + 2\sqrt{5}) - 6} = \frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

さらに分母を有理化するために、$\sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \frac{(1 + \sqrt{5} - \sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$