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与えられた式 $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$ を展開し、簡略化せよ。

代数学式の展開多項式因数分解簡略化
2025/4/29

1. 問題の内容

与えられた式 (x2+x+1)(x2−x+1)(x4−x2+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1) を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、(x2+x+1)(x^2+x+1) と (x2−x+1)(x^2-x+1) の積を計算します。
(x2+x+1)(x2−x+1)=((x2+1)+x)((x2+1)−x)=(x2+1)2−x2=x4+2x2+1−x2=x4+x2+1(x^2+x+1)(x^2-x+1) = ((x^2+1)+x)((x^2+1)-x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = x^4+x^2+1
次に、(x4+x2+1)(x^4+x^2+1) と (x4−x2+1)(x^4-x^2+1) の積を計算します。
(x4+x2+1)(x4−x2+1)=((x4+1)+x2)((x4+1)−x2)=(x4+1)2−(x2)2=x8+2x4+1−x4=x8+x4+1(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1) = ((x^4+1)+x^2)((x^4+1)-x^2) = (x^4+1)^2 - (x^2)^2 = x^8 + 2x^4 + 1 - x^4 = x^8 + x^4 + 1

3. 最終的な答え

x8+x4+1x^8 + x^4 + 1

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