(2) $(x - 2y + 3z)^5$ の展開式における $xy^2z^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

(2) $(x - 2y + 3z)^5$ の展開式における $xy^2z^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を利用します。一般に、$(x_1 + x_2 + \dots + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_m^{k_m}$ の項の係数は、$\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}$ で与えられます。ただし、$k_1 + k_2 + \dots + k_m = n$ を満たす必要があります。

今回の問題では、$(x - 2y + 3z)^5$ の $xy^2z^2$ の項の係数を求めるので、$x_1 = x$, $x_2 = -2y$, $x_3 = 3z$, $n=5$, $k_1 = 1$, $k_2 = 2$, $k_3 = 2$ となります。

まず、$k_1 + k_2 + k_3 = 1 + 2 + 2 = 5 = n$ を満たすことを確認します。

次に、多項定理の公式を適用して、係数を計算します。

$$\frac{5!}{1!2!2!} x^1 (-2y)^2 (3z)^2 = \frac{5!}{1!2!2!} x (-2)^2 y^2 (3)^2 z^2$$

$$= \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} x (4) y^2 (9) z^2 = 30 x (4) y^2 (9) z^2$$

$$= 30 \times 4 \times 9 xy^2z^2 = 1080 xy^2z^2$$

したがって、$xy^2z^2$ の項の係数は $1080$ です。

3. 最終的な答え

$1080$