集合 $A = \{3, 4, 5\}$, $B = \{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$, $C = \{1, 3, 2a - 1\}$ が与えられている。 (1) $A \cap B$ を求めよ。 (2) $C \subseteq A \cup B$ となるように、定数 $a$ の値を定めよ。

1. 問題の内容

集合 $A = \{3, 4, 5\}$, $B = \{x | x^2 - 4x + 3 = 0\}$, $C = \{1, 3, 2a - 1\}$ が与えられている。

(1) $A \cap B$ を求めよ。

(2) $C \subseteq A \cup B$ となるように、定数 $a$ の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、集合 $B$ を具体的に求める。

$x^2 - 4x + 3 = 0$ を因数分解すると、$(x - 1)(x - 3) = 0$ となる。

したがって、$x = 1, 3$ であり、$B = \{1, 3\}$ となる。

次に、$A \cap B$ を求める。$A = \{3, 4, 5\}$ であり、$B = \{1, 3\}$ であるから、$A \cap B = \{3\}$ となる。

(2) $A \cup B$ を求める。$A = \{3, 4, 5\}$ であり、$B = \{1, 3\}$ であるから、$A \cup B = \{1, 3, 4, 5\}$ となる。

$C \subseteq A \cup B$ となるためには、$C = \{1, 3, 2a - 1\}$ のすべての要素が $A \cup B = \{1, 3, 4, 5\}$ に含まれていなければならない。

$1$ と $3$ は既に $A \cup B$ に含まれているので、$2a - 1$ が $1, 3, 4, 5$ のいずれかと等しくなければならない。

ただし、$C$ の要素は全て異なると仮定すると、$2a - 1$ は $1$ と $3$ にはなりえないので、$2a - 1 = 4$ または $2a - 1 = 5$ である。

$2a - 1 = 4$ のとき、$2a = 5$ より $a = \frac{5}{2}$ となる。

$2a - 1 = 5$ のとき、$2a = 6$ より $a = 3$ となる。

$a = \frac{5}{2}$ のとき、$C = \{1, 3, 4\}$ となり、$C \subseteq A \cup B$ を満たす。

$a = 3$ のとき、$C = \{1, 3, 5\}$ となり、$C \subseteq A \cup B$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3\}$

(2) $a = \frac{5}{2}, 3$