$x$ の2次方程式 $x^2 - 2(3m-1)x + 9m^2 - 8 = 0$ が与えられています。以下の条件を満たす実数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求めます。 (1) 相異なる2つの実数解をもつ。 (2) 相異なる実数解をもち、2つの解がともに正である。 (3) 相異なる実数解をもち、一方の解は正、他方の解が負である。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 - 2(3m-1)x + 9m^2 - 8 = 0$ が与えられています。以下の条件を満たす実数 $m$ の値の範囲をそれぞれ求めます。

(1) 相異なる2つの実数解をもつ。

(2) 相異なる実数解をもち、2つの解がともに正である。

(3) 相異なる実数解をもち、一方の解は正、他方の解が負である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式の判別式を $D$ とします。

$D/4 = (3m-1)^2 - (9m^2 - 8) = 9m^2 - 6m + 1 - 9m^2 + 8 = -6m + 9$

(1) 相異なる2つの実数解をもつ条件は $D > 0$ であるから、

$-6m + 9 > 0$

$6m < 9$

$m < \frac{3}{2}$

(2) 相異なる実数解をもち、2つの解がともに正である条件は、$D > 0$ かつ (解の和) > 0 かつ (解の積) > 0 です。

$D > 0$ より、$m < \frac{3}{2}$ 。

解の和は $2(3m-1)$ なので、$2(3m-1) > 0$ より、$3m - 1 > 0$ すなわち $m > \frac{1}{3}$。

解の積は $9m^2 - 8$ なので、$9m^2 - 8 > 0$ より、$m^2 > \frac{8}{9}$。したがって、$m < -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ または $m > \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

以上の条件を全て満たす $m$ の範囲は、$\frac{2\sqrt{2}}{3} < m < \frac{3}{2}$ です。 ($\frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94 > \frac{1}{3} \approx 0.33$)

(3) 相異なる実数解をもち、一方の解が正、他方の解が負である条件は、$D > 0$ かつ (解の積) < 0 です。

$D > 0$ より、$m < \frac{3}{2}$ 。

解の積は $9m^2 - 8$ なので、$9m^2 - 8 < 0$ より、$m^2 < \frac{8}{9}$。したがって、$-\frac{2\sqrt{2}}{3} < m < \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

以上の条件を全て満たす $m$ の範囲は、 $-\frac{2\sqrt{2}}{3} < m < \frac{2\sqrt{2}}{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m < \frac{3}{2}$

(2) $\frac{2\sqrt{2}}{3} < m < \frac{3}{2}$

(3) $-\frac{2\sqrt{2}}{3} < m < \frac{2\sqrt{2}}{3}$