与えられた3つの2変数多項式を因数分解する問題です。 (1) $3x^2+8xy+4y^2$ (2) $6x^2-13xy+6y^2$ (3) $9x^2-6xy-8y^2$

1. 問題の内容

与えられた3つの2変数多項式を因数分解する問題です。

(1) $3x^2+8xy+4y^2$

(2) $6x^2-13xy+6y^2$

(3) $9x^2-6xy-8y^2$

2. 解き方の手順

(1) $3x^2+8xy+4y^2$ を因数分解します。

$3x^2+8xy+4y^2 = (ax+by)(cx+dy)$ とおきます。

$ac=3$, $bd=4$, $ad+bc=8$ を満たす $a,b,c,d$ を探します。

$a=3, c=1$ とすると、$3d+b=8$, $bd=4$ となります。

$b=2, d=\frac{8-2}{3}=2$ とすると、$bd = 2\times 2 = 4$ となり条件を満たします。

したがって、

$3x^2+8xy+4y^2 = (3x+2y)(x+2y)$

(2) $6x^2-13xy+6y^2$ を因数分解します。

$6x^2-13xy+6y^2 = (ax+by)(cx+dy)$ とおきます。

$ac=6$, $bd=6$, $ad+bc=-13$ を満たす $a,b,c,d$ を探します。

$a=2, c=3$ とすると、$2d+3b=-13$, $bd=6$ となります。

$b=-2, d=-3$ とすると、$bd = (-2)\times (-3) = 6$ かつ $2d+3b=2(-3)+3(-2)=-6-6=-12$。

$b=-3, d=-2$ とすると、$bd = (-3)\times (-2) = 6$ かつ $2d+3b=2(-2)+3(-3)=-4-9=-13$ となり条件を満たします。

したがって、

$6x^2-13xy+6y^2 = (2x-3y)(3x-2y)$

(3) $9x^2-6xy-8y^2$ を因数分解します。

$9x^2-6xy-8y^2 = (ax+by)(cx+dy)$ とおきます。

$ac=9$, $bd=-8$, $ad+bc=-6$ を満たす $a,b,c,d$ を探します。

$a=3, c=3$ とすると、$3d+3b=-6$, $bd=-8$ となります。

$d+b=-2$, $bd=-8$。

$b=-4, d=2$ とすると、$d+b=2-4=-2$ かつ $bd = 2\times (-4) = -8$ となり条件を満たします。

したがって、

$9x^2-6xy-8y^2 = (3x-4y)(3x+2y)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x+2y)(x+2y)$

(2) $(2x-3y)(3x-2y)$

(3) $(3x-4y)(3x+2y)$