円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=1, CD=4, DA=3であるとき、次の値を求めよ。 (1) $\cos A$ (2) $\sin A$ (3) 四角形ABCDの面積S

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=1, CD=4, DA=3であるとき、次の値を求めよ。

(1) $\cos A$

(2) $\sin A$

(3) 四角形ABCDの面積S

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ を求める。

円に内接する四角形において、対角の和は180度である。したがって、$C = 180^\circ - A$である。

余弦定理を用いてBDの長さを二通りの方法で表す。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos A$

$BD^2 = 4 + 9 - 12 \cos A$

$BD^2 = 13 - 12 \cos A$

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$BD^2 = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \cos (180^\circ - A)$

$BD^2 = 1 + 16 - 8 \cos (180^\circ - A)$

$BD^2 = 17 + 8 \cos A$

これら2式は等しいので、

$13 - 12 \cos A = 17 + 8 \cos A$

$-20 \cos A = 4$

$\cos A = -\frac{4}{20}$

$\cos A = -\frac{1}{5}$

(2) $\sin A$ を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin A = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$0^\circ < A < 180^\circ$ より、$\sin A > 0$であるから、

$\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(3) 四角形ABCDの面積Sを求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABDと三角形BCDの面積の和である。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin A + \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin C$

$S = \frac{1}{2} (2)(3) \sin A + \frac{1}{2} (1)(4) \sin (180^\circ - A)$

$S = 3 \sin A + 2 \sin A$

$S = 5 \sin A$

$S = 5 \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)$

$S = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = -\frac{1}{5}$

(2) $\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(3) $S = 2\sqrt{6}$