与えられた円の式と、円上の点Pの座標から、点Pにおける円の接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた円の式と、円上の点Pの座標から、点Pにおける円の接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1 x + y_1 y = r^2$

で与えられる。これを利用して、各問題の接線の方程式を求める。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ 、点 $P(-3, 4)$

$x_1 = -3$, $y_1 = 4$, $r^2 = 25$ を代入すると、

$-3x + 4y = 25$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ 、点 $P(1, \sqrt{3})$

$x_1 = 1$, $y_1 = \sqrt{3}$, $r^2 = 4$ を代入すると、

$x + \sqrt{3}y = 4$

(3) 円 $x^2 + y^2 = 5$ 、点 $P(\sqrt{5}, 0)$

$x_1 = \sqrt{5}$, $y_1 = 0$, $r^2 = 5$ を代入すると、

$\sqrt{5}x + 0y = 5$

$\sqrt{5}x = 5$

$x = \sqrt{5}$

(4) 円 $x^2 + y^2 = 9$ 、点 $P(0, -3)$

$x_1 = 0$, $y_1 = -3$, $r^2 = 9$ を代入すると、

$0x + (-3)y = 9$

$-3y = 9$

$y = -3$

3. 最終的な答え

(1) $-3x + 4y = 25$

(2) $x + \sqrt{3}y = 4$

(3) $x = \sqrt{5}$

(4) $y = -3$