以下の3つの問題について、円と直線の共有点の個数を求めます。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 4$, 直線 $y = x + 3$ (2) 円 $x^2 + y^2 = 1$, 直線 $x - y = 1$ (3) 円 $x^2 + (y - 1)^2 = 5$, 直線 $2x + y = 6$

はい、承知いたしました。円と直線の共有点の個数を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題について、円と直線の共有点の個数を求めます。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$, 直線 $y = x + 3$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 1$, 直線 $x - y = 1$

(3) 円 $x^2 + (y - 1)^2 = 5$, 直線 $2x + y = 6$

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入してできる二次方程式の判別式を調べます。

判別式を $D$ とすると、

$D > 0$ のとき、共有点は2個

$D = 0$ のとき、共有点は1個

$D < 0$ のとき、共有点は0個

(1) $x^2 + y^2 = 4$, $y = x + 3$ の場合

$y = x + 3$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると、

$x^2 + (x + 3)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 4$

$2x^2 + 6x + 5 = 0$

判別式 $D = 6^2 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4$

$D < 0$ なので、共有点は0個

(2) $x^2 + y^2 = 1$, $x - y = 1$ の場合

$y = x - 1$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、

$x^2 + (x - 1)^2 = 1$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 1$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

$x = 0$ のとき $y = -1$, $x = 1$ のとき $y = 0$

共有点は(0, -1), (1, 0)の2個

あるいは、判別式で求めることもできます。

$2x^2 - 2x = 0$

$x^2 - x = 0$

判別式 $D = (-1)^2 - 4 * 1 * 0 = 1 > 0$

$D > 0$ なので、共有点は2個

(3) $x^2 + (y - 1)^2 = 5$, $2x + y = 6$ の場合

$y = 6 - 2x$ を $x^2 + (y - 1)^2 = 5$ に代入すると、

$x^2 + (6 - 2x - 1)^2 = 5$

$x^2 + (5 - 2x)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 - 20x + 25 = 5$

$5x^2 - 20x + 20 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$y = 6 - 2 * 2 = 2$

共有点は(2, 2)の1個

あるいは、判別式で求めることもできます。

$x^2 - 4x + 4 = 0$

判別式 $D = (-4)^2 - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0$

$D = 0$ なので、共有点は1個

3. 最終的な答え

(1) 0個

(2) 2個

(3) 1個