円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=3, CD=1, ∠ABC=60°のとき、∠CDA、AC、AD、BDを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=2, BC=3, CD=1, ∠ABC=60°のとき、∠CDA、AC、AD、BDを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠CDAについて

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°である。したがって、∠CDA + ∠ABC = 180°。

∠ABC = 60°なので、∠CDA = 180° - 60° = 120°。

(2) ACについて

△ABCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos∠ABC$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 * 2 * 3 * cos60°$

$AC^2 = 4 + 9 - 12 * (1/2)$

$AC^2 = 13 - 6 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

(3) ADについて

△ACDにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos∠CDA$

$7 = AD^2 + 1^2 - 2 * AD * 1 * cos120°$

$7 = AD^2 + 1 - 2AD * (-1/2)$

$7 = AD^2 + 1 + AD$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD+3)(AD-2) = 0$

$AD = -3, 2$

AD>0より、AD=2

(4) BDについて

△ABDにおいて、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos∠BAD$

まず、∠BADを求める。四角形ABCDは円に内接するので、∠BAD + ∠BCD = 180°。

△BCDにおいて、余弦定理より、$BD^2=BC^2+CD^2-2 \cdot BC \cdot CD \cdot cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 3^2+1^2-2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot cos(\angle BCD)=10 -6 cos(\angle BCD)$

△ABCにおいて、余弦定理より、$AC^2=AB^2+BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 2^2+3^2-2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot cos(60°)=4+9-6=7$

△ACDにおいて、余弦定理より、$AC^2=AD^2+CD^2-2 \cdot AD \cdot CD \cdot cos(\angle CDA)$

$AC^2 = 2^2+1^2-2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot cos(120°)=4+1+2=7$

トレミーの定理より、$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

$\sqrt{7} \cdot BD = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$

$BD = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8 \sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

∠CDA = 120°

AC = $\sqrt{7}$

AD = 2

BD = $\frac{8\sqrt{7}}{7}$