直線 $3x - 5y - 12 = 0$ を $y = mx + c$ の形に変形して傾き $m$ を求める。 $5y = 3x - 12$ $y = \frac{3}{5}x - \frac{12}{5}$ したがって、与えられた直線の傾きは $m = \frac{3}{5}$ である。

## 問題の内容

点 $(-2, 3)$ を通り、直線 $3x - 5y - 12 = 0$ に平行な直線と垂直な直線のそれぞれの方程式を求める。

## 解き方の手順

1. **与えられた直線の傾きを求める:**

直線 $3x - 5y - 12 = 0$ を $y = mx + c$ の形に変形して傾き $m$ を求める。

$5y = 3x - 12$

$y = \frac{3}{5}x - \frac{12}{5}$

したがって、与えられた直線の傾きは $m = \frac{3}{5}$ である。

2. **平行な直線の傾き:**

平行な直線は同じ傾きを持つので、求める直線の傾きも $\frac{3}{5}$ である。

3. **平行な直線の式を求める:**

傾きが $\frac{3}{5}$ で、点 $(-2, 3)$ を通る直線の式は、点傾斜式を用いて求められる。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 3 = \frac{3}{5}(x - (-2))$

$y - 3 = \frac{3}{5}(x + 2)$

$y = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5} + 3$

$y = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5} + \frac{15}{5}$

$y = \frac{3}{5}x + \frac{21}{5}$

これを標準形に変形する:

$5y = 3x + 21$

$3x - 5y + 21 = 0$

4. **垂直な直線の傾き:**

垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものである。したがって、垂直な直線の傾きは $-\frac{5}{3}$ である。

5. **垂直な直線の式を求める:**

傾きが $-\frac{5}{3}$ で、点 $(-2, 3)$ を通る直線の式は、点傾斜式を用いて求められる。

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 3 = -\frac{5}{3}(x - (-2))$

$y - 3 = -\frac{5}{3}(x + 2)$

$y = -\frac{5}{3}x - \frac{10}{3} + 3$

$y = -\frac{5}{3}x - \frac{10}{3} + \frac{9}{3}$

$y = -\frac{5}{3}x - \frac{1}{3}$

これを標準形に変形する:

$3y = -5x - 1$

$5x + 3y + 1 = 0$

## 最終的な答え

直線 $3x - 5y - 12 = 0$ に平行で、点 $(-2, 3)$ を通る直線の方程式は、

$3x - 5y + 21 = 0$

直線 $3x - 5y - 12 = 0$ に垂直で、点 $(-2, 3)$ を通る直線の方程式は、

$5x + 3y + 1 = 0$