三角形ABCにおいて、$AB=2$, $AC=2\sqrt{3}$, $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{3}$である。 (1) このとき、$BC$と$\sin B$を求める。 さらに、点Dは辺BC上にあり、$\cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$である。このとき、$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}BD$であり、正弦定理により$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$となる。 空欄ア～キを埋める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=2$, $AC=2\sqrt{3}$, $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{3}$である。

(1) このとき、$BC$と$\sin B$を求める。

さらに、点Dは辺BC上にあり、$\cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$である。このとき、$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}BD$であり、正弦定理により$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$となる。

空欄ア～キを埋める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$BC$の長さを余弦定理を用いて求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$BC^2 = 4 + 12 + 8 = 24$

$BC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

したがって、アは2、イは6である。

次に、正弦定理を用いて$\sin B$を求める。

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sin B = \frac{AC \cdot \sin A}{BC} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{18}}{6\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

したがって、ウは$\sqrt{3}$、エは3である。

次に，$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}BD$ を考える。

$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$ と正弦定理より求めるとあるので、三角形ABDに着目する。

$\frac{BD}{\sin{\angle BAD}} = \frac{AD}{\sin{\angle ABD}}$

$\frac{BD}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{AD}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

$AD = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}BD = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}BD = \frac{\sqrt{6}}{4}BD$

$AD = \sqrt{\frac{6}{16}} BD = \sqrt{\frac{3}{8}} BD = \sqrt{\frac{6}{16}}BD$

よって、キは6である。

3. 最終的な答え

ア：2, イ：6, ウ：$\sqrt{3}$, エ：3, キ：6