2つの直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = -x$ のなす鋭角 $\theta$ を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ と $y = -x$ のなす鋭角 $\theta$ を求めます。

2. 解き方の手順

直線の傾きとtanの関係を利用します。

直線 $y = mx + b$ の傾き $m$ は、その直線がx軸の正の向きとなす角を$\alpha$とすると、$m = \tan \alpha$で表されます。

まず、それぞれの直線がx軸の正の向きとなす角を求めます。

直線 $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ の傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ なので、この直線がx軸の正の向きとなす角を$\alpha$とすると、

$\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$0 \le \alpha < 2\pi$の範囲でこれを満たす$\alpha$は、$\alpha = \frac{5}{6}\pi$ または $\alpha = \frac{11}{6}\pi$ です。

しかし、$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$は、x軸との角度が鈍角なので、$\alpha = \frac{5}{6}\pi = 150^\circ$ です。

直線 $y = -x$ の傾きは $-1$ なので、この直線がx軸の正の向きとなす角を$\beta$とすると、

$\tan \beta = -1$

$0 \le \beta < 2\pi$の範囲でこれを満たす$\beta$は、$\beta = \frac{3}{4}\pi$ または $\beta = \frac{7}{4}\pi$ です。

しかし、$y=-x$は、x軸との角度が鈍角なので、$\beta = \frac{3}{4}\pi = 135^\circ$ です。

２つの直線のなす角$\theta$は、$\theta = |\alpha - \beta|$で求めることができます。

$\theta = | \frac{5}{6}\pi - \frac{3}{4}\pi | = | \frac{10}{12}\pi - \frac{9}{12}\pi | = \frac{1}{12}\pi = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ$

または、

$\theta = | \frac{3}{4}\pi - \frac{5}{6}\pi | = | \frac{9}{12}\pi - \frac{10}{12}\pi | = \frac{1}{12}\pi = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ$

$\frac{1}{12}\pi$は鋭角であるため、これが求める角です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{12}$