円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=3, CD=1, \angle ABC = 60^\circ$が与えられたとき、$\angle CDA$, $AC$, $AD$, $BD$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2, BC=3, CD=1, \angle ABC = 60^\circ$が与えられたとき、$\angle CDA$, $AC$, $AD$, $BD$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\angle CDA$を求める。

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°である。

したがって、$\angle CDA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

(2) $AC$を求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理を用いると

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3)\cos{60^\circ}$

$AC^2 = 4 + 9 - 12(\frac{1}{2})$

$AC^2 = 13 - 6 = 7$

$AC = \sqrt{7}$

(3) $AD$を求める。

$\triangle ADC$において、余弦定理を用いると

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD)\cos{\angle CDA}$

$7 = AD^2 + 1^2 - 2(AD)(1)\cos{120^\circ}$

$7 = AD^2 + 1 - 2AD(-\frac{1}{2})$

$7 = AD^2 + 1 + AD$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD + 3)(AD - 2) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 2$

(4) $BD$を求める。

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理より

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = \sqrt{7} \cdot BD$

$2 + 6 = \sqrt{7} \cdot BD$

$8 = \sqrt{7} \cdot BD$

$BD = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

3. 最終的な答え

$\angle CDA = 120^\circ$

$AC = \sqrt{7}$

$AD = 2$

$BD = \frac{8\sqrt{7}}{7}$