$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の問題に答えよ。 (1) $4\sin\theta = 3$ を満たすとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。 (2) $\tan\theta + 3 = 0$ を満たすとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、以下の問題に答えよ。

(1) $4\sin\theta = 3$ を満たすとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

(2) $\tan\theta + 3 = 0$ を満たすとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $4\sin\theta = 3$ より、$\sin\theta = \frac{3}{4}$ である。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

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\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}

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$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ より、$\sin\theta \ge 0$ である。

しかし、$\cos\theta$ は正にも負にもなりうる。

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/4}{\pm\sqrt{7}/4} = \pm\frac{3}{\sqrt{7}} = \pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\tan\theta + 3 = 0$ より、$\tan\theta = -3$ である。

$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ を用いると、

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\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10

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よって、$\cos^2\theta = \frac{1}{10}$ である。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\tan\theta = -3 < 0$ より、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であるため、$\cos\theta < 0$ である。

したがって、$\cos\theta = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$ である。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、

$\sin\theta = \tan\theta \cos\theta = (-3)\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan\theta = \pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$

(2) $\sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$