$AB = 5\sqrt{2}$、$\angle ACB = 45^\circ$である$\triangle ABC$について、以下の問いに答えます。 (1) $\triangle ABC$の外接円$O$の半径を求めます。 (2) $PA = 2\sqrt{2}PB$となる時の$PA$の値を求めます。 (3) $\sin \angle PBA$の値が最大となるときの$PA$の長さと$\triangle PAB$の面積について考えます。外接円$O$の半径を$R$として、ア、エ、オ、カ、キを埋めます。

1. 問題の内容

$AB = 5\sqrt{2}$、$\angle ACB = 45^\circ$である$\triangle ABC$について、以下の問いに答えます。

(1) $\triangle ABC$の外接円$O$の半径を求めます。

(2) $PA = 2\sqrt{2}PB$となる時の$PA$の値を求めます。

(3) $\sin \angle PBA$の値が最大となるときの$PA$の長さと$\triangle PAB$の面積について考えます。外接円$O$の半径を$R$として、ア、エ、オ、カ、キを埋めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$

$AB = 5\sqrt{2}$、$\angle ACB = 45^\circ$なので、

$\frac{5\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$\frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$10 = 2R$

$R = 5$

よって、アは5です。

(2) $PA = 2\sqrt{2}PB$のとき、$PA = x$とおくと、$PB = \frac{x}{2\sqrt{2}}$となる。

$\angle ACB = 45^\circ$なので、$\angle APB = 135^\circ$となります。

$\triangle APB$において、余弦定理より、

$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2PA \cdot PB \cos \angle APB$

$(5\sqrt{2})^2 = x^2 + (\frac{x}{2\sqrt{2}})^2 - 2x(\frac{x}{2\sqrt{2}}) \cos 135^\circ$

$50 = x^2 + \frac{x^2}{8} - \frac{x^2}{\sqrt{2}} (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$50 = x^2 + \frac{x^2}{8} + \frac{x^2}{2}$

$50 = x^2 + \frac{x^2}{8} + \frac{4x^2}{8}$

$50 = \frac{13}{8}x^2$

$x^2 = \frac{400}{13}$

$x = \sqrt{\frac{400}{13}} = \frac{20}{\sqrt{13}} = \frac{20\sqrt{13}}{13}$

$PA = \frac{20\sqrt{13}}{13} = イ\sqrt{ウ}$

$イ = \frac{20}{13}$, $ウ=13$

したがって、$PA = \frac{20\sqrt{13}}{13}$

(3) 太郎さんの考え方

外接円$O$の半径を$R$として、$正弦定理$を用いると、$\sin \angle PBA = \frac{PA}{2R}$とわかる。

$R=5$であるから、線分$PA$の長さが最大となるとき、$\sin \angle PBA$も最大となる。

したがって、エは正弦、オは$PA$、カは$2$である。

線分$PA$の長さが最大となるのは、$PA$が円$O$の直径となるときである。

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: $\frac{20}{13}$

ウ: 13

エ: 正弦

オ: $PA$

カ: 2

キ: 線分PAが円Oの直径となるとき