空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求めます。 (2) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求めます。 (3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトルをすべて求めます。

1. 問題の内容

空間内の3つのベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求めます。

(2) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積を求めます。

(3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直な単位ベクトルをすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積の絶対値で求められます。外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (2)(0) \\ (2)(2) - (1)(1) \\ (1)(0) - (-1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

面積は、この外積の絶対値です。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$

(2) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を3辺とする平行六面体の体積は、$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ の絶対値で求められます。まず、$\vec{b} \times \vec{c}$ を計算します。

$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} (0)(3) - (1)(-4) \\ (1)(5) - (2)(3) \\ (2)(-4) - (0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix}$

次に、$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ を計算します。

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (1)(4) + (-1)(-1) + (2)(-8) = 4 + 1 - 16 = -11$

体積は、このスカラー三重積の絶対値です。

$|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |-11| = 11$

(3) $\vec{b}$ と $\vec{c}$ に垂直なベクトルは、$\vec{b} \times \vec{c}$ です。これは(2)で計算済みで、$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix}$ です。

このベクトルの単位ベクトルを求めます。まず、ベクトルの絶対値を計算します。

$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$

単位ベクトルは、$\pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \pm \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -8 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ -\frac{1}{9} \\ -\frac{8}{9} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{14}$

(2) $11$

(3) $\begin{pmatrix} \frac{4}{9} \\ -\frac{1}{9} \\ -\frac{8}{9} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{1}{9} \\ \frac{8}{9} \end{pmatrix}$