$\sqrt{2} = 1.4142$、$\sqrt{3} = 1.7321$とするとき、分母の有理化を利用して、以下の2つの式の値を求める。 (1) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

$\sqrt{2} = 1.4142$、$\sqrt{3} = 1.7321$とするとき、分母の有理化を利用して、以下の2つの式の値を求める。

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の場合：

分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{3}+1$を掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$ は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので、 $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3-1 = 2$ となります。

$\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$\sqrt{3}=1.7321$ を代入すると、

$\sqrt{3}+1 = 1.7321 + 1 = 2.7321$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の場合：

分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{2}-\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ は $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2-3 = -1$ となります。

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}=1.4142$、$\sqrt{3}=1.7321$ を代入すると、

$\sqrt{3}-\sqrt{2} = 1.7321 - 1.4142 = 0.3179$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\sqrt{3}-1} = 2.7321$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = 0.3179$