与えられた複素数を極形式で表す問題です。偏角の範囲は、(1)から(4)までは $0 \le \theta < 2\pi$、(5)と(6)では $-\pi < \theta \le \pi$ とします。 与えられた複素数は以下の通りです。 (1) $-1+i$ (2) $-3-\sqrt{3}i$ (3) $\sqrt{5}(1-i)$ (4) $-4$ (5) $3i$ (6) $2\sqrt{3}-2i$

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。偏角の範囲は、(1)から(4)までは $0 \le \theta < 2\pi$、(5)と(6)では $-\pi < \theta \le \pi$ とします。

与えられた複素数は以下の通りです。

(1) $-1+i$

(2) $-3-\sqrt{3}i$

(3) $\sqrt{5}(1-i)$

(4) $-4$

(5) $3i$

(6) $2\sqrt{3}-2i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すには、まず絶対値 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ を計算します。次に、偏角 $\theta$ を $\cos\theta = \frac{a}{r}$ および $\sin\theta = \frac{b}{r}$ を満たすように求めます。問題で指定された偏角の範囲に注意して $\theta$ を決定します。

(1) $z = -1+i$ の場合：

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{3}{4}\pi$ です。

極形式は $\sqrt{2}(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)$

(2) $z = -3-\sqrt{3}i$ の場合：

$r = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos\theta = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{7}{6}\pi$ です。

極形式は $2\sqrt{3}(\cos\frac{7}{6}\pi + i\sin\frac{7}{6}\pi)$

(3) $z = \sqrt{5}(1-i) = \sqrt{5} - \sqrt{5}i$ の場合：

$r = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5+5} = \sqrt{10}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{7}{4}\pi$ です。

極形式は $\sqrt{10}(\cos\frac{7}{4}\pi + i\sin\frac{7}{4}\pi)$

(4) $z = -4$ の場合：

$r = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4$

$\cos\theta = \frac{-4}{4} = -1$

$\sin\theta = \frac{0}{4} = 0$

したがって、$\theta = \pi$ です。

極形式は $4(\cos\pi + i\sin\pi)$

(5) $z = 3i$ の場合：

$r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$

$\cos\theta = \frac{0}{3} = 0$

$\sin\theta = \frac{3}{3} = 1$

$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

極形式は $3(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(6) $z = 2\sqrt{3} - 2i$ の場合：

$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4$

$\cos\theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲では、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ です。

極形式は $4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}(\cos\frac{3}{4}\pi + i\sin\frac{3}{4}\pi)$

(2) $2\sqrt{3}(\cos\frac{7}{6}\pi + i\sin\frac{7}{6}\pi)$

(3) $\sqrt{10}(\cos\frac{7}{4}\pi + i\sin\frac{7}{4}\pi)$

(4) $4(\cos\pi + i\sin\pi)$

(5) $3(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$

(6) $4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$