与えられた2変数多項式 $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理すると、

$x^2 + (y+6)x - 2y^2 + 8$

となる。次に、定数項 $-2y^2 + 8$ を因数分解することを考える。

$-2y^2 + 8 = -2(y^2 - 4) = -2(y-2)(y+2)$

この式と $(y+6)$ を用いて、全体の式が因数分解できるように定数項を調整する。

$x^2 + (y+6)x - 2y^2 + 8 = x^2 + (y+6)x - 2(y^2-4)$

$= x^2 + (y+6)x - 2(y-2)(y+2)$

ここで、

$-2y^2 + 8$ を、

$-2y^2 + 8 = (-2y+a)(y+b)$

の形に分解し、$x^2 + xy - 2y^2 + 6x + 8 = (x+Ay+C)(x+By+D)$の形に変形できるか考える。

$x^2 + xy - 2y^2$ の部分を因数分解すると

$x^2 + xy - 2y^2 = (x-y)(x+2y)$

なので、

$(x-y+A)(x+2y+B)$

の形を仮定する。展開すると、

$x^2 + xy - 2y^2 + (A+B)x + (2A-B)y + AB$

となるので、$A+B = 6$ かつ $2A-B = 0$ かつ $AB = 8$ が成り立つ必要がある。

$2A-B = 0$ より $B=2A$ であり、$A+B = A+2A = 3A = 6$ より $A=2$。したがって、$B = 2A = 4$ であり、$AB = 2*4 = 8$ となるので条件を満たす。

よって、

$(x-y+2)(x+2y+4)$

3. 最終的な答え

$(x-y+2)(x+2y+4)$